Rodil se je leta 1935 v Celju Mariji Bajc in Alfredu Nabergoju. Priimek Juh je prevzel od očima Mirka Juha, s katerim se je mama Marija poročila po smrti njegovega očeta, ki so ga ubili med vojno zaradi povezav s partizani. Osnovno šolo je sprva obiskoval v Vrhpolju pri Vipavi, nekaj razredov v Ljubljani, zadnji razred v Majšperku, nato pa je šolanje nadaljeval na gimnazijah na Ptuju in v Ljubljani.
Leta 1962 je diplomiral na Akademiji za gledališče, radio, film in televizijo v Ljubljani. Najprej je bil član Slovenskega mladinskega gledališča (SMG). Med njegovimi opaznejšimi vlogami v SMG so bile vloge Messenia v Plavtovih Dvojčkih, Kraljeviča Bama v Čudežnem pisalnem strojčku Smiljana Rozmana, Fagina v Dickensovem Oliverju Twistu in Princa Tulipana v predstavi Vesela zgodba o žalostni princeski Frana Milčinskega.
Med letoma 1971 in 2002 je bil redni član ljubljanske Drame, kjer je med drugim blestel kot naslovni junak Vojček v drami Georga Buchnerja, Maks v Cankarjevem Kralju na Betajnovi, Ivan Aleksandrovič Hlestakov v Gogoljevem Revizorju, Leone Glembay v predstavi Gospoda Glembajevi Miroslava Krleže in kot Hiisi v predstavi Kalevala Daneta Zajca.
Za vlogo Leoneja Glembayja je leta 1978 prejel Borštnikovo nagrado, leto pozneje pa še nagrado Prešernovega sklada. Za vlogo Slikarja v Dogodku v mestu Gogi Slavka Gruma je na Borštnikovem srečanju slavil še leta 1987.
V svoji karieri ob več kot sto gledaliških vlogah nastopil tudi v okoli 20 filmih, večkrat v osrednjih vlogah. Tako je bil Kozlevčar v filmu Vojka Duletiča Med strahom in dolžnostjo, Fritz v filmu Iskanja Matjaža Klopčiča, Anton v filmu Živojina Pavlovića Nasvidenje v naslednji vojni in Jakob v filmu Jožeta Galeta Pustota.
Leta 2016 mu je Društvo slovenskih režiserjev podelilo nagrado bert za življenjsko delo na področju filmske igre. "Njegovi filmski liki imajo tisto nekaj, ob čemer besede postanejo šibke in je najbrž treba povedati preprosto: Boris Juh na platnu izžareva nekaj posebnega, morda nekaj zelo svojega," je pisalo v obrazložitvi nagrade.
Veliko je nastopal tudi v TV dramah in nadaljevankah, kot so kot so Erazem in potepuh, Mali oglasi, Nora hiša, Primož Trubar in Vikend v Brightonu ter sodeloval pri radijskih igrah. Bil je tudi izjemen interpret poezije v radijskih literarnih oddajah.
"Ko pomislimo, kaj je igral, koga je igral Boris Juh, se gotovo ne bomo spomnili nobenega karakterno omejenega vzorca, nasprotno, odpre se neslutena širina, paleta raznovrstnih likov, vtis je, kot bi jih izbiral sam. To mu ni uspelo samo na filmu, ampak tudi v gledališču, na radiu in na televiziji," so še zapisali leta 2016 v obrazložitvi.
Je oče priznane igralke Polone Juh.