Jesih se je rodil rojen 14. aprila 1950 v Ljubljani. Študiral je primerjalno književnost in literarno teorijo in tedaj objavil prvi knjigi pesmi in kot soavtor, avtor in prevajalec vstopil tudi v svet gledališča. Leta 1973 je pridobil status samostojnega umetnika in se leta 2015 v njem tudi upokojil.
Njegova prva dejavnost je pesništvo, piše v biografiji na spletni strani Slovenske akademije znanosti in umetnosti (SAZU), katere izredni član je od junija lani. Po oceni literarne stroke Jesih piše poezijo, v kateri se prepletajo jezikovna igra, poudarjena zvočnost, ironija, satira ali parodija in dramska dela. Njegovo pesnjenje sega od modernizma k postmodernizmu.
Prvi pesniški zbirki Uran v urinu, gospodar! iz leta 1972 so sledile zbirke Legende (1974), Kobalt (1976), Volfram (1978), Usta (1985), Soneti (1989), Soneti drugi (1993), Jambi (2000), Tako rekoč (2007), Mesto sto (2008), Lahkoda (2013) in Maršal (2017).
Jesihova zaenkrat zadnja, s kritiškim sitom nagrajena zbirka Maršal, vsebuje 88 pesmi v jambskem enajstercu, osrediščenih na eno osebo - maršala. Ta "v svoji mnogoterosti prejkone zavzema mesto človeškega slehernika v vsakdanjih, smešnih, absurdnih, bizarnih, liričnih, najrazličnejših položajih," so zapisali pri založbi Beletrina.
Sicer so Jesihove pesmi izšle še v izborih Verzi (2002; v zbirki Kondor) in Pesmi (2006; miniaturka), zbrane dotedanje pesmi pa v knjigi Zbrane zbirke (2012). V samostojnih izdajah so izšle tudi v srbščini, češčini, ruščini, angleščini in italijanščini, v revialnih in antologijskih objavah pa še v številnih drugih jezikih.
Jesih je pisal tudi za gledališče, radio in televizijo. Uprizorjenih je bilo okoli 20 njegovih iger in predvajanih podobno število radijskih iger. Kot knjižne izdaje so izšle njegova drama Grenki sadeži pravice (1978), zbirki Premi govor (1989) in Štiri igre za otroke (1997), igrica za otroke Zvezda in srce (2003) in zbirka Svoje igre (2012).
Za gledališča je prevedel več deset iger, povečini klasikov; četrtina od tega je Shakespearovih iger, skoraj ves Čehov, dva Gogolja, igre Sheridana, Bulgakova, Gorkega, Bablja, Nušića in Kleista. Ducat teh prevodov je izšel v knjigah. Kot prevajalec je sodeloval tudi pri izborih iz poezije Puškina in Lermontova, je navedeno na spletni strani SAZU.
Za svoje delo je Jesih, ki je nekaj časa vodil tudi Društvo slovenskih pisateljev, prejel številne nagrade. Med njimi dve Jenkovi nagradi za zbirki Soneti in Jambi, Grumovo nagrado, Sovretovo nagrado, zlato značko Borštnikovega srečanja, Veronikino nagrado, čašo nesmrtnosti ter veliko Prešernovo nagrado leta 2002.
V obrazložitvi najvišjega slovenskega priznanja v kulturi je leta 2002 med drugim pisalo: "Jesihovo pesništvo sedanjemu svetu vizualnih podob ne le konkurira, ampak ga s strogostjo oblike in neprizanesljivim kriterijem za bistvene postojanke človeškega duha tudi selekcionira. Gre namreč za podobe, ki premorejo globino in trajnost."